Question

已知A、B、C是直線l上不同的三點，O是l外一點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

．記y=f（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍：
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，結合A、B、C是直線l上不同的三點，即可求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數(shù)，原不等式為|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，分別求出對應函數(shù)的最小值與最大值，即可求得結論；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b變形為ln(2+3x)+

3

2

x2-2x=b，研究左邊對應函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

．
∴

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C是直線l上不同的三點
∴(

3

2

x2+1)+[ln(2+3x)-y]=1
∴y=ln(2+3x)+

3

2

x2
∴f（x）=ln(2+3x)+

3

2

x2；
（Ⅱ）∵f′(x)=

3

2+3x

+3x，∴原不等式為|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0．
得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，①…（4分）
設g(x)=lnx-ln

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

，h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

，
依題意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，
∵g′(x)=

3

2x+3x2

•

1

3

(2+6x)=

2+6x

2x+3x2

＞0，h′(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0，
∴g（x）與h（x）在[

1

6

，

1

3

]上都是增函數(shù)，要使不等式①成立，
當且僅當a＜g(

1

6

)或a＞h(

1

3

)，∴a＜ln(

5

36

)，或a＞ln

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b即為ln(2+3x)+

3

2

x2=2x+b，
變形為ln(2+3x)+

3

2

x2-2x=b．
令φ(x)=ln(2+3x)+

3

2

x2-2x，x∈(0，1]，
∴φ′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x-1)(3x+1)

2+3x

…（10分）
列表寫出x，φ'（x），φ（x）在[0，1]上的變化情況：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1
?φ'（x）		小于0	0	大于0
?φ（x）	ln2	單調(diào)遞減	取極小值ln3- 1 2	單調(diào)遞增	ln5- 1 2

…（12分）
顯然φ（x）在（0，1]上的極小值也即為它的最小值ln3-

1

2

．
現(xiàn)在比較ln2與ln5-

1

2

的大小；
∵ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0，∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在（0，1]上恰有兩個不同的實根，必須使ln3-

1

2

＜b＜ln2．
即實數(shù)b的取值范圍為ln3-

1

2

＜b＜ln2．…（14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查向量知識，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．