Question

（08年山西大學附中五模理） 已知函數．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若關于的方程在上有解，求實數的取值范圍．

Answer 1

解析：．

令

x	(0,1)	1	(1,+
	+	0	－
g(x)		極大值0

根據此表可知，當x=1時，g(x)的最大值為0.            

當x>0時，都有g(x)≤0,即lnx≤x-1.         

(2)解法一：

①  當k<0時, ,∴h(x)在(0,+上是減函數；

又當x>0且x趨近于零時,h(x)>0.

∴此時h(x)=0在上有解．       

②當k>0時, 令得 x=(∵x>0)

x
	－	0	+
h(x)		極小值

根據此表,當x=,h(x)的最小值為，

依題意，當≤0，即時，關于x的方程f(x)=在上

有解，

綜上：k<0或.

解法二：當x>0時，lnx=等價于 

令F(x)= 則，

令得.

x
	+	0	－
F(x)		極小值

根據此表可知, 當x=時,F(x)的最大為.

又當x>0且x趨近于零時,F(x)趨向于負無窮大．

依題意，當，即k<0或,時，關于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 實數k的取值范圍為k<0或.