Question

設f（x）是定義在[a，b]上的函數，用分點T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b，將區間[a，b]任意劃分成n個小區間，若存在常數M，使

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數．
（1）判斷函數f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否為有界變差函數，并說明理由；
（2）定義在[a，b]上的單調函數f（x）是否一定為有界變差函數？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（3）若定義在[a，b]上的函數f（x）滿足：存在常數k，使得對于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數．

Answer 1

分析：（1）求導可發現f（x）在[-π，π]上是增函數，利用函數在[-π，π]上是增函數，去掉絕對值，將連和符號用函數值的和表示出，求出值為，取M大于等于此值，讓其滿足有界變差函數的定義；
（2）利用函數為減函數，將連和符號中的絕對值符號去掉，將連和用函數值的差表示出，求出連和的值，將M取此值，滿足有界變差函數的定義．
（3）利用已知不等式，將函數值差的連和表示成自變量差的連和，去掉絕對值，將連和寫成自變量差的和形式，求出連和的值，找到M，滿足有界變差的定義；

解答：解：（1）可得f′（x）=1-sinx≥0，x∈[-π，π]，
所以f（x）=x+cosx為區間[-π，π]上的單調增函數，
故當x_i-1＜x_i時，總有f（x_i-1）＜f（x_i），
此時，

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]=f（x_n）-f（x₀）=f（π）-f（-π）=2π．
所以函數f（x）=x+cosx在[-π，π]上為有界變差函數；        …（5分）
（2）因為函數f（x）為區間[-π，π]上的單調函數，
所以當x_i-1＜x_i時，總有f（x_i-1）＜f（x_i）（或f（x_i-1）＞f（x_i）），…（7分）
故

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=|

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]|=|f（x_n）-f（x₀）|=|f（b）-f（a）|．
故存在常數M=|f（b）-f（a）|，使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以定義在[a，b]上的單調函數f（x）為有界變差函數；        …（10分）
（3）因為存在常數k，使得對于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．
所以

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤

n

i=1

|x_i-x_i-1|=k（b-a）．                 …（14分）
故存在常數M=k（b-a），使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以f（x）為[a，b]上的有界變差函數．                      …（16分）

點評：本題以新定義函數為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，有一定的難度，判斷一個函數是否是有界變差函數，關鍵是求出函數差的連和，找出M．