Question

已知數列{a_n}是首項a₁=1的等比數列，其前n項和S_n中，S₃、S₄、S₂成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=2log

1

2

|an|+1，求數列{b_n}的前n項和為T_n；
（3）求滿足(1-

1

T2

)(1-

1

T3

)•…•(1-

1

Tn

)＞

1013

2013

的最大正整數n的值．

Answer 1

分析：（1）依題意，等比數列{a_n}的公比q≠1，由S₃、S₄、S₂成等差數列可列式求得q，從而可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，a_n=(-

1

2

)n-1，從而可求得b_n=2n-1，數列{b_n}為等差數列，利用等差數列的求和公式即可求得數列{b_n}的前n項和為T_n；
（3））可求得（1-

1

T2

）（1-

1

T3

）…（1-

1

Tn

）=（1-

1

22

）（1-

1

32

）…（1-

1

n2

）=

n+1

2n

，由

n+1

2n

＞

1013

2013

，可求得最大正整數n的值．

解答：解：（1）若q=1，則S₃=3，S₄=4，S₂=2，顯然S₃，S₄，S₂不構成等差數列，
∴q≠1．
故由S₃，S₄，S₂成等差數列得：2•

a1(1-q4)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q2)

1-q

…（2分）
∴2q⁴=q³+q²⇒2q²-q-1=0⇒（2q+1）（q-1）=0，
∵q≠1，
∴q=-

1

2

．…（4分）
∴a_n=1×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-1．…（5分）
（2）∵b_n=2log

1

2

|a_n|+1=2log

1

2

|(-

1

2

)n-1|+1=2log

1

2

(

1

2

)n-1+1=2（n-1）+1=2n-1…（7分）
∴T_n═1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（9分）
（3）（1-

1

T2

）（1-

1

T3

）…（1-

1

Tn

）
=（1-

1

22

）（1-

1

32

）…（1-

1

n2

）
=

22-1

22

•

32-1

32

…

n2-1

n2

=

1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)

22•32•42•…•n2

…（11分）
=

n+1

2n

．…（13分）
令

n+1

2n

＞

1013

2013

，解得：n＜154

11

13

．
故滿足條件的最大正整數n的值為154．…（14分）

點評：本題考查數列的求和，考查等差數列的求和與對數函數的性質，考查方程思想與等價轉化思想的綜合應用，考查邏輯思維與運算能力，屬于難題．