Question

已知函數f(x)=xlnx，g(x)=-

2

3

x3+

1

2

ax2-3bx+c(a，b，c∈R)．
（1）若函數h（x）=f′（x）-g′（x）是其定義域上的增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若g（x）是奇函數，且g（x）的極大值是g(

3

3

)，求函數g（x）在區間[-1，m]上的最大值；
（3）證明：當x＞0時，f′(x)＞

1

ex

-

2

ex

+1．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）、g（x）進行求導表示出函數h（x）的解析式，再對函數h（x）進行求導，令導函數大于0求滿足條件的a的范圍即可得到答案．
（2）先根據g（x）是奇函數求出a=c=0，然后對函數g（x）進行求導，根據在x=

3

3

出取極值可確定b的值，從而得到函數g（x）的解析式，然后對函數g（x）求導，根據函數g（x）的單調性可解題．
（3）將問題轉化為證明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

對x＞0恒成立，對函數f（x）求導，根據函數f（x）的導函數確定f（x）的最小值；同樣求出

x

ex

-

2

e

的最大值，二者比較大小可證．

解答：解：（1）f'（x）=lnx+1，g'（x）=-2x²+ax-3b，所以h（x）=lnx+2x²-ax+3b+1，
由于h（x）是定義域內的增函數，故h′(x)=

1

x

+4x-a≥0恒成立，
即a≤

1

x

+4x對?x＞0恒成立，又

1

x

+4x≥4（x=2時取等號），故a∈（-∞，4]．
（2）由g（x）是奇函數，則g（x）+g（-x）=0對?x＞0恒成立，從而a=c=0，
所以g(x)=-

2

3

x3-3bx，有g'（x）=-2x²-3b．
由g（x）極大值為g(

3

3

)，即g′(

3

3

)=0，從而b=-

2

9

；
因此g(x)=-

2

3

x3-

2

3

x，即g′(x)=-2x2+

2

3

=-2(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
所以函數g（x）在(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)上是減函數，在(-

3

3

，

3

3

)上是增函數．
由g（x）=0，得x=±1或x=0，因此得到：
當-1＜m＜0時，最大值為g（-1）=0；
當0≤m＜

3

3

時，最大值為g(m)=-

2

3

m3+

2

3

m；
當m≥

3

3

時，最大值為g(

3

3

)=

4 3

27

．
（3）問題等價于證明f(x)=xlnx＞

x

ex

-

2

e

對x＞0恒成立；
f'（x）=lnx+1，所以當x∈(0，

1

e

)時，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1

e

)上單調減；
當x∈(

1

e

，+∞)時，f'（x）＞0，f（x）在(

1

e

，+∞)上單調增；
所以f（x）在（0，+∞）上最小值為-

1

e

（當且僅當x=

1

e

時取得）
設m(x)=

x

ex

-

2

e

(x＞0)，則m′(x)=

1-x

ex

，得m（x）最大值m(1)=-

1

e

（當且僅當x=1時取得），
又f（x）得最小值與m（x）的最大值不能同時取到，所以結論成立．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．