Question

請認真閱讀下列程序框圖：
已知程序框圖x_i=f（x_i-1）中的函數關系式為，程序框圖中的D為函數f（x）的定義域，把此程序框圖中所輸出的數x_i組成一個數列{x_n}．
（1）若輸入，請寫出數列{x_n}的所有項；
（2）若輸出的無窮數列{x_n}是一個常數列，試求輸入的初始值x的值；
（3）若輸入一個正數x時，產生的數列{x_n}滿足：任意一項x_n，都有x_n＜x_n+1，試求正數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用 ，及工作原理，注意函數的定義域，直接可求得數列{x_n}的只有三項；
（2）要數列發生器產生一個無窮的常數列，則有 ，從而求出相應的初始數據x的值；
（Ⅲ）要使對任意正整數n，均有x_n＜x_n+1，則必須 ，得1＜x_n＜2，要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x-2）（x-1）＜0，解得：1＜x＜2，從而得出結論．
解答：解：（1）當時，因為f（x）的定義域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），
∴，
，
∉D，
所以數列{x_n}只有三項 ．
（2）數列{x_n}是一個常數列，則有x₁=x₂=…=x_n=x即  ，解得：x=1或x=2，
所以輸入的初始值x為1或2時輸出的為常數列．
（3）由題意知 ，因x＞0，
∴x_n＞0，有：得4x_n-2＞x_n（x_n+1）即x_n²-3x_n+2＜0，即（x_n-2）（x_n-1）＜0
要使任意一項x_n，都有x_n+1＞x_n，須（x-2）（x-1）＜0，解得：1＜x＜2，
所以當正數x在（1，2）內取值時，所輸出的數列{x_n}對任意正整數n滿足x_n＜x_n+1．
點評：本小題主要考查數列與算法的簡單結合、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．