Question

已知函數f1(x)=

mx

4x2+16

，f2(x)=(

1

2

)|x-m|其中m∈R且m≠o．
（1）判斷函數f₁（x）的單調性；
（2）若m＜一2，求函數f（x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[-2，2]）的最值；
（3）設函數g(x)=

f1(x)，x≥2 f2(x)，x＜2

當m≥2時，若對于任意的x₁∈[2，+∞），總存在唯一的x₂∈（-∞，2），使得g（x₁）=g（x₂）成立．試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f₁′（x），分m大于0和m小于0兩種情況，令導函數大于0解出x的范圍即為函數的增區(qū)間，令導函數小于0解出x的范圍即為函數的減區(qū)間；
（2）由m小于-2及-2≤x≤2得到x-m大于0，即可化簡f₂（x），然后分別把兩個解析式代入得到f（x），根據（1）得到函數f₁（x）在區(qū)間[-2，2]上為減函數，且f₂（x）也為減函數，所以得到f（-2）最大，f（2）最小，分別求出值即可；
（3）當m大于等于2時，x₁∈[2，+∞）時得到g（x₁）等于f₁（x），g（x₁）在[2，+∞）上是減函數得到，得到g（x₁）的范圍，同理，x₂∈（一∞，2）時g（x₂）等于f₂（x），g（x₂）在（-∞，2）上單調遞增得到g（x₂）的范圍，根據g（x₁）=g（x₂）列出關于m的不等式，根據函數的單調性即可得到m的范圍．

解答：解：（1）∵f′1(x)=

m(4-x2)

(2x2+8)2

則當m＞0時，在（-2，2）上函數f₁（x）單調遞增；在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞減．
當m＜0時，在（-2，2）上函數f₁（x）單調遞減；在（-∞，-2）及（2，+∞）上單調遞增；
（2）由m＜-2，-2≤x≤2，得x-m＞0，則f2(x)=(

1

2

)x-m=2m•(

1

2

)x，
∴f(x)=f1(x)+f2(x)=

mx

4x2+16

+2m•(

1

2

)x
由（1）知，當m＜-2，-2≤x≤2時，f₁（x）在[-2，2]上是減函數，而f2(x)=2m•(

1

2

)x在[-2，2]上也是減函數，
∴當x=-2時，f（x）取最大值4•2m-

m

16

=2m+2-

m

16

，當x=2時，f（x）取最小值2m-2+

m

16

；
（3）當m≥2時，g(x1)=f1(x1)=

mx1

4 x 2 1 +16

，
由（1）知，此時函數g（x₁）在[2，+∞）上是減函數，
從而g（x₁）∈（0，f₁（2）），即g(x1)∈(0，

m

16

]
若m≥2，由于x₂＜2，
則g(x2)=f2(x2)=(

1

2

)|x2-m|=(

1

2

)|m-x2|=(

1

2

)m•2x2，
∴g（x₂）在（-∞，2）上單調遞增，
從而g（x₂）∈（0，f₂（2））
即g(x2)∈(0，(

1

2

)m-2)
要使g（x₁）=g（x₂）成立，
只需

m

16

＜(

1

2

)m-2，即

m

16

-(

1

2

)m-2＜0成立即可
由函數h(m)=

m

16

-(

1

2

)m-2在[2，+∞）上單調遞增，
且h（4）=0，得m＜4，
所以2≤m＜4

點評：此題考查學生會根據導函數的正負確定原函數的單調區(qū)間，會根據函數的增減性得求出函數的最值，理解函數最值及幾何意義，會根據函數的增減性求出自變量的取值范圍，是一道綜合題．