Question

已知曲線C：xy-4x+4=0，數(shù)列{a_n}的首項a₁=4，且當(dāng)n≥2時，點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，數(shù)列{b_n}滿足bn=

1

2-an

．
（1）試判斷數(shù)列{b_n}是否是等差數(shù)列？并說明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，試比較數(shù)列{c_n}的前n項和S_n與2的大小．

Answer 1

分析：本題以點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C：xy-4x+4=0上為情景，考查等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項公式、求數(shù)列的前n項和等數(shù)列知識和研究方法；
（1）根據(jù)點(diǎn)（a_n-1，a_n）在曲線C上，將其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由bn=

1

2-an

相鄰兩項作差得到-

1

2

，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
（2）由（1）知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項和公差易得，所以數(shù)列{b_n}的通項公式可求，再根據(jù)兩個數(shù)列的關(guān)系bn=

1

2-an

，數(shù)列{a_n}的通項公式可直接獲得；
（3）根據(jù)數(shù)列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得數(shù)列{c_n}的通項公式，前n項和可由“裂項法”求得，與2的大小比較易得．

解答：解：（1）∵當(dāng)n≥2時，點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由bn=

1

2-an

得
當(dāng)n≥2時，bn-bn-1=

1

2-an

-

1

2-an-1

=

an-an-1

4-2an-1-2an+anan-1

=

an-an-1

4-2an-1-2an+4an-1-4

=

an-an-1

-2an+2an-1

=-

1

2

（4分）
∴數(shù)列{b_n}是公差為-

1

2

的等差數(shù)列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴b1=

1

2-a1

=-

1

2

∴bn=-

1

2

+(n-1)×(-

1

2

)=-

1

2

n（7分）
由bn=

1

2-an

得an=2-

1

bn

=2+

2

n

（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴cn=

1

an b 2 n

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)（10分）
∴S_n=c₁+c₂++c_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)＜2．（12分）

點(diǎn)評：本題綜合性強(qiáng)，知識聯(lián)系廣泛，涉及了數(shù)列的證明、通項公式、求和公式等，但解題思路清晰、方向明確；
注意在數(shù)列{b_n}是否是等差數(shù)列的判斷時，運(yùn)用b_n-b_n-1容易進(jìn)行判斷，在（3）得到S_n=c₁+c₂++c_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

2n

n+1

后，會變形為2(1-

1

n+1

)＜2易得．