Question

(2006福州模擬)如下圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M為線段EF的中點．

(1)求證：AM⊥平面BDF；

(2)求二面角A－DF－B的大小．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設AC∩BD=O，連結OM， 因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD， 又平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF=AC， 則BD⊥平面ACEF，所以BD⊥AM． 又因為，而， 所以AF=AO， ∵M為矩形ACEF的邊EF的中點， ∴四邊形OAFM為正方形，∴AM⊥OF． ∵BD∩OF=O，且OF、BD平面BDF， ∴AM⊥平面BDF． (2)因為平面ABCD⊥平面ACEF，且平面ABCD∩平面ACEF=AC， 而ACEF為矩形，即AF⊥AC， 所以AF⊥平面ABCD，得AB⊥AF， 又ABCD為正方形，則AB⊥AD， ∵AD∩AF=A，∴AB⊥平面ADF． 在平面ADF內過A作AG⊥DF于點G，連BG，則由三垂線定理知BG⊥DF， 所以∠AGB即為二面角A－DF－B的平面角．設，AF=a(a＞0)，則，所以．則在Rt△ABG中，，所以∠AGB=60°，即二面角A－DF－B的大小為60°．