Question

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.

(1)求函數f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)證明對一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．

 

Answer 1

（1）f(x)min＝（2）a≤4（3）見解析

【解析】(1)【解析】
f′(x)＝lnx＋1，當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

①當0<t<t＋2<時，t無解；②當0<t<<t＋2，即0<t<時，f(x)min＝f＝－；

③當≤t<t＋2，即t≥時，f(x)在[t，t＋2]上單調遞增，f(x)min＝f(t)＝tlnt，

所以f(x)min＝.

(2)【解析】
由題意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．

設h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，則h′(x)＝＋1－.

當x∈(0，1)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增．

所以x＝1時，h(x)取得極小值，也就是最小值，

即[h(x)]min＝h(1)＝4，所以a≤4.

(3)證明：問題等價于證明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．

由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，

當且僅當x＝時取得．設m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，則m′(x)＝，

易得[m(x)]max＝m(1)＝－，

當且僅當x＝1時取得，

從而對一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立