Question

設y=f(x)是R上的奇函數．

f(x＋2)=－f(x)．當－1≤x≤1時，．

(1)試證：直線x=1是函數y=f(x)圖象的對稱軸；

(2)試求xÎ [1，5)時，f(x)解析式；

(3)若A={x||f(x)|＞a，xÎ R，且，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)∵f(1＋x)=f[2＋(x－1)]=－f(x－1)=f(1－x)， ∴y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱． (2)當xÎ [1，3]時，2－xÎ [－1，1]， 則， 當xÎ [3，5]時，x－2Î [1，3]， 則． ∴ (3)f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)， ∴f(x)是以4為周期的函數． ∴{y|y=f(x)，xÎ R}={y|y=f(x)，1≤x≤5}， ∵f(x)在[1，3]上是減函數，∴－1≤f(x)≤1； 又f(x)在[3，5]上是增函數， ∴－1≤f(x)≤1，∴f(x)的值域為[－1，1]， 即|f(x)|≤1，故a＜1．