Question

設f（x）=2x³+ax²+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f'（x）的圖象關于直線x=-

1

2

對稱，且f′（1）=0．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若對于任意實數x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對f（x）求導，f（x）的導數為二次函數，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）對于任意實數x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立，等價于對于任意實數x，x²+x+m-2＞0恒成立，由此可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2x³+ax²+bx+1，∴f′（x）=6x²+2ax+b
∵函數y=f'（x）的圖象關于直線x=-

1

2

對稱，
∴-

a

6

=-

1

2

∴a=3
又由于f′（1）=0，即6+2a+b=0，解得b=-12
∴a=3，b=-12；
（Ⅱ）∵對于任意實數x，

1

6

f′(x)+m＞0恒成立
即對于任意實數x，x²+x+m-2＞0恒成立     
∴△=1-4（m-2）＜0，
解得m＞

9

4

∴實數m的取值范圍是(

9

4

，+∞)

點評：本題考查導數知識的運用，考查二次函數的對稱性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．