Question

若關于x的方程

4-x2

=kx+2只有一個實數根，則k的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設已知方程的左邊為y₁，右邊為y₂，故y₂表示圓心為原點，半徑為2的半圓，y₂表示恒過定點（0，2）的直線，畫出兩函數的圖象，如圖所示，則原方程要只有一個實數根，即要半圓與直線只有一個公共點，根據圖象可知當直線與半圓相切時滿足題意，求出此時k的值，再求出兩個特殊位置，直線再過（2，0），求出此時k的值，當k小于求出的值時滿足題意，同時求出直線過（-2，0）時k的值，當k大于求出的值時滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的k的范圍．

解答：解：設y₁=

4-x2

，y₂=kx+2，
則y₁表示圓心為原點，半徑為2的x軸上方的半圓，y₂表示恒過（0，2）的直線，
畫出兩函數圖象，如圖所示，根據圖象可得：
當直線與半圓相切，即直線為y=2時，直線與半圓只有一個公共點，
即方程

4-x2

=kx+2只有一個實數根，此時k=0；
當直線過（0，2）和（2，0）時，直線的斜率為-1，
則當k＜-1時，直線與半圓只有一個公共點，
即方程

4-x2

=kx+2只有一個實數根；
當直線過（0，2）和（-2，0）時，直線的斜率為1，
則當k＞1時，直線與半圓只有一個公共點，
即方程

4-x2

=kx+2只有一個實數根，
綜上，滿足題意的k的范圍是k=0或k＞1或k＜-1．
故答案為：k=0或k＞1或k＜-1

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及函數的圖象，考查了數形結合的思想，解此類題的思路為：把方程兩邊分別設為函數，借助圖形，利用兩函數圖象的交點個數判斷方程解的情況來解決問題，同時要求學生考慮問題要全面．