Question

（本小題滿分14分）已知集合是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在，使得成立。
（Ⅰ）函數是否屬于集合？說明理由；
（Ⅱ）設函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）設函數圖象與函數的圖象有交點，
證明：函數。

Answer 1

（Ⅰ）。（Ⅱ）。 （Ⅲ）見解析。

試題分析：（1）根據題意，只要sin（x₀+1）=sinx₀+sin1成立即可，由解析式列出方程，再由特殊角的正弦值進行證明；
（2）把解析式代入f（x+1）=f（x）+f（1），列出對應的方程，再由一元二次方程有解的條件求出k的范圍，注意二次系數是否為零；
（3）根據定義只要證明f（x+1）=f（x）+f（1）有解，把解析式代入列出方程，轉化為對應的函數，利用函數的零點存在性判定理進行判斷．.
（Ⅰ）若，在定義域內存在，則， ∵方程無解，∴。
（Ⅱ），
時，；時，由，得。
∴。 
（Ⅲ）∵，
又∵函數圖象與函數的圖象有交點，設交點的橫坐標為，
則，其中。
∴，即。
點評：本題屬于新定義，新情景的問題，主要利用新定義進行運算，考查了對數函數、正弦函數和指數函數的性質，函數的零點存在性判定理的應用，綜合性強、難度大．