Question

已知f（1-cosx）=sin²x，求函數f（x）的表達式，并求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：設t=1-cos x，由-1≤cosx≤1，可得 0≤t≤2，f（t）=sin² x=-（1-t）²+1，數形結合求出f（x）=-（1-x）²+1的值域．

解答：解：設t=1-cos x，∵-1≤cosx≤1，∴0≤t≤2，
f（t）=sin² x=1-cos² x=1-（1-t）² =-（1-t）²+1，
f（x）=-（1-x）²+1，頂點 O′（1，1），如圖所示：
∴函數值域f（x）是：[0，1]．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系的應用，在閉區間上求二次函數的值域，注意t的范圍，這是解題的易錯點．