Question

已知函數f(x)=log3

1-m(x-2)

x-3

的圖象關于點（2，0）對稱．
（1）求實數m的值；
（2）當x∈（3，4）時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的圖象關于點（2，0）對稱得f（2-x）+f（2+x）=0將此式利用函數解析式代入，求實數m的值；
（2）由（1）得：f(x)=log3(1+

2

x-3

)考查此函數在x∈（3，4）時，的單調性，從而求得f（x）的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）的圖象關于點（2，0）對稱得f（2-x）+f（2+x）=0，（2分）
所以在其定義域內有log3

1+mx

-x-1

+log3

1-mx

x-1

=0，（4分）
故log3

(1+mx)•(1-mx)

(1+x)•(1-x)

=0，所以m²=1．（6分）
又m=1時，函數表達式無意義，所以m=-1，此時f(x)=log3

x-1

x-3

．（8分）
（2）f(x)=log3(1+

2

x-3

)，（10分）
x∈（3，4）時，y=1+

2

x-3

是減函數，值域為（3，+∞），（12分）
所以當x∈（3，4）時，f（x）的取值范圍為（1，+∞）．（14分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數對稱性的應用、對數函數的圖象與性質等基礎知識，解答的關鍵是運算求解能力，數形結合思想的應用．屬于基礎題．