Question

已知函數y=1-2a-2ax+2x²（-1≤x≤1）的最小值為f（a）．
（Ⅰ）求f（a）的表達式；
（Ⅱ）當a∈[-2，0]時，求Q=log

1

3

f(a)的值域．

Answer 1

分析：（I）先確定函數的對稱軸和開口方向，由于函數要求最小值，需分三種情形討論，最后最小值寫成分段函數的形式可得函數f（a）；
（II）欲求Q=log

1

3

f(a)的值域，根據對數函數的性質，關鍵是求當a∈[-2，0]時，f（a）的取值范圍，結合二次函數的性質即可解決．

解答：解：（Ⅰ）有題意y=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1（-1≤x≤1），
當

a

2

＜-1，即a＜-2時，y_min=y|_x=-1=f（a）=3；…（2分）
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，ymin=y|x=

a

2

=f(a)=-

a2

2

-2a+1；…（4分）
當

a

2

＞1，即a＞2時，y_min=y|_x=1=f（a）=3-4a，…（6分）
∴f（a）=

3，a＜-2 - a2 2 -2a+1，-2≤ 3-4a，a＞2

a≤2．…（8分）
（Ⅱ）當a∈[-2，0]時，Q=log

1

3

f(a)=log

1

3

(-

a2

2

-2a+1)，
設u=-

a2

2

-2a+1=-

1

2

(a+2)2+3，a∈[-2，0]，則1≤u≤3，…（10分）
此時Q=log

1

3

u∈[-1，0]．
∴Q=log

1

3

f(a)的值域為[-1，0]．…（12分）

點評：本題考查了二次函數的圖象和性質，特別是求二次函數的最值，需要分類討論，做到不重不漏，解題時要學會用分類討論的思想方法解決問題．