Question

規定記號“△”表示一種運算，即a△b=

a2+b2

+a+

3

b，記f（x）=（sin2x）△（cos2x）．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）求函數y=f（x）的最小正周期；
（3）若函數f（x）在x=x₀處取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）f（3x₀）的值

Answer 1

分析：（1）本題從新定義一種運算，同學們要先認清楚這種運算并能寫出需要的解析式，
（2）后面的問題是三角函數恒等變化解決有關性質的問題，
（3）最后是代入自變量的值求函數值的問題

解答：解：（1）f(x)=

sin22x+cos22x

+sin2x+

3

cos2x
=1+sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+1
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

3

) +1
∴T=

2π

2

=π
（3）∵2x0+

π

3

=2kπ+

π

2

∴x0=kπ+

π

12

(k∈Z)時f（x）有最大值，
∴f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）=
2(sin

π

2

+sin

2π

3

+sin

5π

6

) +3
=6+

3

點評：新定義問題是最近幾年經常出現的問題，關鍵是理解題意，后面的問題是通過應用公式進行恒等變形，在不斷提高學生恒等變形能力的同時，讓學生初步認識形式和內容的辯證關系．