Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點.

（1）求證：直線AB₁⊥平面A₁BD.
（2）求二面角A-A₁D-B正弦值的大小.

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角A-A₁D-B正弦值為.

試題分析：（1）建立如下圖的空間坐標系，要證直線AB₁⊥平面A₁BD，只需證明
即可.（2）先求出平面A₁AD的一個法向量，再用向量夾角公式求二面角A-A₁D-B正弦值.
試題解析：(1)取BC中點O，連接AO,
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，
∵直棱柱ABC-A₁B₁C1,∴平面ABC⊥平面BCC₁B1且相交于BC,
∴AO⊥平面BCC₁B₁.取B₁C₁中點O₁,則OO₁∥BB₁,∴OO₁⊥BC.
以O為原點，如圖建立空間直角坐標系O-xyz,

則B(1，0，0)，D(-1，1，0)，A₁(0,2,)A(0,0,),B₁(1,2,0),C(-1,0,0),
∴

∴直線AB₁⊥平面A₁BD.             6分
(2)設平面A₁AD的一個法向量為
n=(x,y,z).
∵
∴令z=1得n=(-,0,1)為平面A₁AD的一個法向量.
由(1)知為平面A₁BD的法向量.
∴
∴二面角A-A₁D-B正弦值的大小為.   12分