Question

已知函數， 
（1）求函數的單調區間；
（2）若函數在上是減函數，求實數的最小值；
（3）若，使成立，求實數取值范圍.

Answer 1

（1）函數的單調遞減區間是，，遞增區間是。
（2）的最小值為。
（3）。

試題分析：函數的定義域為，且   2分
（1）函數
當且時， ；當時，
所以函數的單調遞減區間是，，遞增區間是  .5分
（2）因為在上為減函數，故在上恒成立
所以當時，
又
故當，即時，
所以于是，故的最小值為             .8分
（3）命題“若，使成立”等價于
“當時，有”
由（2），當時，，所以
問題等價于： “當時，有”            9分
（i）當時，由（2）在上為減函數
則，故
（ii）當時，由于在上為增函數
故的值域為，即
由的單調性值域知
唯一，使，且滿足：
當時，，為減函數；當時，，為增函數；所以， 
所以，，與矛盾，不合題意
綜上，                                            12分
點評：難題，利用導數研究函數的單調性、極值，是導數應用的基本問題，主要依據“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”。確定函數的極值，遵循“求導數，求駐點，研究單調性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解決。本題的難點在于利用轉化思想的靈活應用。