Question

已知直線l與函數f（x）=lnx的圖象相切于點（1，0），且l與函數g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的圖象也相切．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的導函數），求函數h（x）的最大值；
（Ⅲ）當0＜a＜1時，求證：f(1+a)-f(2)＜

a-1

2

．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，根據導數的幾何意義可求出切線斜率等于f'（1），從而可得到切線方程，最后切線方程與函數g（x）聯立可求出m的值．
（2）根據（1）中m的值可先確定函數g（x）的解析式，然后對其求導代入函數h（x）中確定其解析式，再對函數h（x）進行求導，根據導數的正負判斷函數的單調性進而可確定最大值．
（3）先對f（1+a）-f（2）進行整理變形為f(1+a)-f(2)=ln(1+

a-1

2

)，再根據（2）可得到當-1＜x＜0時h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，可得證．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直線l是函數f（x）=lnx的圖象在點（1，0）處的切線，
∴其斜率為k=f′（1）=1
∴直線l的方程為y=x-1．
又因為直線l與g（x）的圖象相切
∴

y=x-1 y= 1 2 x2+mx+ 7 2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合題意，舍去）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

∴h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1），
∴h′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．（x＞-1）
當-1＜x＜0時，h′（x）＞0；當x＞0時，h′（x）＜0．
于是，h（x）在（-1，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減．
所以，當x=0時，h（x）取得最大值h（0）=2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：當-1＜x＜0時，h（x）＜2，即ln（1+x）＜x，
當0＜a＜1時，-1＜

a-1

2

＜0
∴f(1+a)-f(2)=ln

1+a

2

=ln(1+

a-1

2

)＜

a-1

2

．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系、導數的幾何意義、根據導數求函數的最值的問題．