Question

已知二次函數g（x）對任意實數x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

(m∈R，x＞0)．
（1）求g（x）的表達式；
（2）若?x＞0使f（x）≤0成立，求實數m的取值范圍；
（3）設1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，證明：對?x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

分析：（1）設g（x）=ax²+bx+c，根據g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1直接可得答案．
（2）表示出函數f（x）的解析式，對m進行大于0、小于、和等于0進行分析可得答案．
（3）先根據H（x）的導數小于等于0判斷出H（x）單調遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|＜1即可．

解答：解：（1）設g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，所以

a= 1 2 c=-1

又g（1）=-1，則b=-

1

2

．所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1．

（2）f(x)=g(x+

1

2

)+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx(m∈R，x＞0)．
當m＞0時，由對數函數性質，f（x）的值域為R；
當m=0時，f(x)=

x2

2

＞0對?x＞0，f（x）＞0恒成立；
當m＜0時，由f′(x)=x+

m

x

=0?x=

-m

，
列表：
這時，[f(x)]min=f(

-m

)=-

m

2

+mln

-m

．[f(x)]min＞0?

- m 2 +mln -m ＞0 m＜0

?-e＜m＜0．
所以若?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（-e，0）．
故?x＞0使f（x）≤0成立，實數m的取值范圍（-e，0）∪（0，+∞）．

（3）因為對?x∈[1，m]，H′(x)=

(x-1)(x-m)

x

≤0，所以H（x）在[1，m]內單調遞減．
于是|H(x1)-H(x2)|≤H(1)-H(m)=

1

2

m2-mlnm-

1

2

．|H(x1)-H(x2)|＜1?

1

2

m2-mlnm-

1

2

＜1?

1

2

m-lnm-

3

2m

＜0．
記h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)，
則h′(m)=

1

2

-

1

m

+

3

2m2

=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0，
所以函數h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

在（1，e]是單調增函數，
所以h(m)≤h(e)=

e

2

-1-

3

2e

=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命題成立．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數解析式和根據導數的符號判斷函數的增減性的問題．