Question

設(shè)橢圓，直線l過橢圓左焦點F₁且不與x軸重合，l橢圓交于P、Q，左準線與x軸交于K，|KF₁|=2．當l與x軸垂直時，．
（1）求橢圓T的方程；
（2）直線l繞著F₁旋轉(zhuǎn)，與圓O：x²+y²=5交于A，B兩點，若，求△F₂PQ的面積S的取值范圍（F₂為橢圓的右焦點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓方程，只要求出a，b即可，因為左準線與x軸交于K，|KF₁|=2，可得到一個含a，c的等式，又因為，當l與x軸垂直時，可得一個含a，b的等式，再根據(jù)a，b，c之間的關(guān)系，就可求出a，b的值，橢圓方程可得．
（2）△F₂PQ的面積S=|AB|d，可設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出|AB|，再用點到直線的距離公式，求出d，代入）△F₂PQ的面積S，最后用導數(shù)求范圍即可．
解答：解（1）設(shè)橢圓半焦距為c， 
，將x=-c 代入橢圓方程得，
∴ 

所以，
∴ 
a²=3，b²=2 所求橢圓方程為： 

（3）設(shè)直線l：x=my-1 即x-my+1=0，圓心O 到l 的距離 
由圓性質(zhì)：，
又，得m²∈[0，3]
聯(lián)立方程組，消去x 得（2m²+3）y²-4my-4=0 
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 
則 
== 
==（令t=m²+1∈[1，4]），
設(shè)，
f′（t）=4-=＞0，對t∈[1，4]恒成立，
f（t）=4t+在[1，4]上為增函數(shù)，，
所以，
點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及弦長公式及點到直線的距離公式的應用．