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設函數f(x)＝axn(1－x)＋b(x＞0)，n為正整數，a，b為常數．曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為x＋y＝1.
(1)求a，b的值；
(2)求函數f(x)的最大值．
(1) a＝1，b＝0. (2)
(1)因為f(1)＝b，由點(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.
因為f′(x)＝anxn－1－a(n＋1)xn，所以f′(1)＝－a.
又因為切線x＋y＝1的斜率為－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，f′(x)＝(n＋1)xn－1.
令f′(x)＝0，解得x＝，在上，f′(x)＞0，故f(x)單調遞增；
而在上，f′(x)＜0，故f(x)單調遞減．
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值為f＝n·＝.
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數
（1）當時，求函數的單調區間;
（2）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間。設，試問函數在上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

函數y＝xcos x－sin x在下面哪個區間內是增函數 (  )．
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

若則f′（x）的解集為（    ）
A．B．（-1,0）C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則  (　　)．
A．g(a)<0<f(b)B．f(b)<0<g(a)
C．0<g(a)<f(b)D．f(b)<g(a)<0

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的函數滿足，且為偶函數，當時，有（  ）
A．B．
C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知函數f(x)＝aln x＋x在區間[2,3]上單調遞增，則實數a的取值范圍是________．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數y＝f(x)，其導函數y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x) (　　)．
A．在(－∞，0)上為減函數
B．在x＝0處取極小值
C．在(4，＋∞)上為減函數
D．在x＝2處取極大值

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

定義域為R的連續函數，對任意x都有，且其導函數滿足，則當時，有（   ）
A．B．
C．D．

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