Question

設平面內兩向量a與b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k與t是兩個不同時為0的實數.

(1)若x=a+(t²-3)b與y=-ka+tb垂直，求k關于t的函數關系式k=f(t);

(2)試確定k=f(t)的單調區間.

Answer 1

解：(1)由題意，a⊥b，

∴a·b=0.

    又x⊥y，∴x·y=0,

    即［a+(t²-3)b］·(-ka+tb)=0.

∴-ka²+［t-k(t²-3)］a·b+t(t²-3)b²=0.

    由于a²=|a|²=4，b²=|b|²=1，∴4k=t(t²-3)，即k=t(t²-3)=(t³-3t).

(2)設t₁＜t₂,則f(t₁)-f(t₂)=［(t₁³-t₂³)-3(t₁-t₂)］=(t₁-t₂)(t₁²+t₂²+t₁t₂-3).

①當t₁＜t₂≤-1時，t₁t₂＞1,t₁²＞1,t₂²≥1,即t₁²+t₂²+t₁t₂-3＞0,而t₁-t₂＜0,故f(t₁)＜f(t₂),即(-∞,-1］為k=f(t)的單調增區間.

②當1≤t₁＜t₂時，t₁t₂＞1,t₁²≥1,t₂²＞1，即t₁²+t₂²+t₁t₂-3＞0,而t₁-t₂＜0,故f(t₁)＜f(t₂),即［1,+∞)為k=f(t)的單調增區間.

③當-1＜t₁＜t₂＜1時，t₁²＜1,t₂²＜1,t₁t₂＜1,則t₁²+t₂²+t₁t₂-3＜0,而t₁-t₂＜0,∴f(t₁)＞f(t₂),即(-1,1)為k=f(t)的單調減區間.

    綜合①②③，知k=f(t)的單調減區間為(-1,1)，單調增區間為(-∞,-1］，［1，+∞).