Question

已知拋物線的焦點F在y軸上，拋物線上一點A（a，4）到準線的距離是5，過點F的直線與拋物線交于M，N兩點，過M，N兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為T．
（I）求拋物線的標準方程；
（II）求

FT

•

MN

的值；
（III）求證：|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中項．

Answer 1

分析：（I）先根據題意設出拋物線的方程，再結合點A到拋物線準線的距離可求出p的值，進而可得到拋物線的標準方程．
（II）先求出F的坐標，然后設出直線MN的方程，聯立直線與拋物線消去y得到關于x的一元二次方程，表示出兩根之和與兩根之積，然后表示出

MN

，再對x²=4y進行求導，表示出切線MT、NT的方程后聯立解出交點T的坐標，得到

FT

的坐標表示，最后使

FT

•

MN

運算等于0即可．
（III）根據（II）中

FT

的坐標求出|

FT

|2，再結合拋物線的定義課得到|

MF

|=y1+1，|

NF

|=y2+1.，再由|

MF

|•|

NF

|=(y1+1)(y2+1)并將直線方程y=kx+1代入，結合（II）中的兩根之和與兩根之積可得到|

FT

|2=|

MF

|•|

NF

|.得證．

解答：（I）解：由題意可設拋物線的方程為x²=2py（p≠0）．
因為點A（a，4）在拋物線上，所以p＞0．
又點A（a，4）到拋物線準線的距離是5，所以

p

2

+4=5，可得p=2．
所以拋物線的標準方程為x²=4y．

（II）解：點F為拋物線的焦點，則F（0，1）．
依題意可知直線MN不與x軸垂直，
所以設直線MN的方程為y=kx+1.由

y=kx+1 x2=4y.

得x2-4kx-4=0.
因為MN過焦點F，所以判別式大于零．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．

MN

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1)).
由于x2=4y，所以y′=

1

2

x.
切線MT的方程為y-y1=

1

2

x1(x-x1)，①
切線NT的方程為y-y2=

1

2

x2(x-x2).②
由①，②，得T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)
則

FT

=T(

x1+x2

2

，

x1x2

4

-1)=(2k，-2)
所以

FT

•

MN

=0.

（III）證明：|

FT

|2=(2k)2+(-2)2=4k2+4.
由拋物線的定義知|

MF

|=y1+1，|

NF

|=y2+1.
則|

MF

|•|

NF

|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+2)(kx2+2)
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4k²+4．
所以|

FT

|2=|

MF

|•|

NF

|.
即|

FT

|是|

MF

|和|

NF

|的等比中項．

點評：本土主要考查直線與拋物線的綜合問題以及向量的運算．直線與圓錐曲線是高考的重點問題，常以壓軸題的形式出現．