Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點B作射線BB_l∥AC．動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB₁于F，G是EF中點，連接DG．設點D運動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，AD=AB，并求出此時DE的長度；
（2）當△DEG與△ACB相似時，求t的值；
（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′．
①當t＞

3

5

時，連接C′C，設四邊形ACC′A′的面積為S，求S關于t的函數關系式；
②當線段A′C′與射線BB，有公共點時，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）先求出AB，再根據AD=AB以及AD=5t，CE=3t即可求出此時DE的長度；
（2）先根據t的取值不同對應的DE長不同，分兩種情況分別討論，再根據△DEG與△ACB相似時對應的邊長之間的關系即可求出t的值；
（3）①先根據條件得到四邊形ACC′A′是梯形；再根據三角形相似以及同一個角的正弦值相等分別求出梯形的上下底以及腰長即可求出S關于t的函數關系式；
②先求出A′在BB′上以及C′在BB′上時對應的t值，即可得到線段A′C′與射線BB′有公共點時，對應t的取值范圍．

解答：解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴當AD=AB時，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中點∴GE=2．
當AD＜AE（即t＜

3

2

）時，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG∽△ACB，則

DE

EG

=

AC

BC

，
若△DEG∽△BCA，則

DE

EG

=

BC

AC

．
即有

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

成立，
∴t=

3

4

或t=

1

6

．
當AD＞AE．（即t＞

3

2

）時，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3．，
若△DEG與△ACB相似，則

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

．
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

．
所以t=

9

4

或t=

17

6

．
綜上得，當t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

時．△DEG∽△ACB．
（3）①由軸對稱變換得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四邊形ACC′A′是梯形．

∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴

AH

AC

=

DH

BC

=

AD

AB

．
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴

AH

AD

=

CO

CD

，即

3

5

=

CO

5t-3

∴CO=3t-

9

5

．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-

18

5

．
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×

4

5

=4t-

12

5

．
∴OH=DH-OD=

12

5

．
∴S=

1

2

（AA′+CC′）•OH=

1

2

（6t+6t-

18

5

）×

12

5

=

72

5

t-

108

25

．
②當A′在BB′上時，A′和點B重合時，AH=

1

2

AB=

5

2

．此時cos∠BAC=

AH

AD

=

AC

AB

，得AD=

AH•AB

AC

=

25

6

=5t，∴t=

5

6

；
當C′在BB′上時，此時CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-

18

5

=5，t=

33

30

=

11

10

．
故當線段A′C′與射線BB′有公共點時所求t∈[

5

6

，

11

10

]．

點評：本題主要考查分類討論思想以及相似三角形的應用問題．解決第二問的關鍵在于先根據t的取值不同對應的DE長不同，分兩種情況分別討論，避免出現漏解的情況．