Question

如圖，設P₀是拋物線y=x²上一點，且在第一象限．過點P₀作拋物線的切線，交x軸于Q₁點，過Q₁點作x軸的垂線，交拋物線于P₁點，此時就稱P₀確定了P₁．依此類推，可由P₁確定P₂，…．記P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．給出下列三個結論：
①x_n＞0；
②數列{x_n}為單調遞減數列；
③對于?n∈N，?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正確結論的序號為

①②③

．

Answer 1

分析：求出過點P_n作拋物線的切線方程為y-xn2=2xn(x-xn)，證明數列{x_n}為公比為

1

2

的等比數列，即可得到結論．

解答：解：記P_n（x_n，y_n），則
∵拋物線y=x²，∴y′=2x，
∴過點P_n作拋物線的切線方程為y-xn2=2xn(x-xn)，即y=2xnx-xn2
令y=0，則0=2xnxn+1-xn2，∴xn+1=

1

2

xn
∴數列{x_n}為公比為

1

2

的等比數列
∵P₀是拋物線y=x²上一點，且在第一象限，
∴x_n＞0；數列{x_n}為單調遞減數列；
y₀+y₁+y₂+…+y_n=x02+x12+…+xn2=

x02•[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

∴0＜x₀＜

6

2

時，y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
∴?x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
故正確結論的序號為①②③
故答案為：①②③．

點評：本題考查數列與解析幾何的綜合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．