Question

已知雙曲線的漸近線的方程為2x±3y=0．
（1）若雙曲線經過P(

6

，2)，求雙曲線方程；
（2）若雙曲線的焦距是2

13

，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）根據據題意，可設雙曲線方程為4x²-9y²=λ（λ≠0），將已知點P的坐標代入可得λ的值，即可得到雙曲線的方程，最后再化成標準方程；
（2）分雙曲線焦點在x軸和y軸進行討論，根據題意建立關于a、b的方程組，聯解可得a、b的值，從而得到雙曲線的方程．

解答：解：（1）∵雙曲線的漸近線的方程為2x±3y=0．
∴設雙曲線方程為：4x²-9y²=λ（λ≠0）
∵雙曲線經過P(

6

，2)，
∴4×（

6

）²-9×2²=λ，得λ=-12，
可得雙曲線方程為：4x²-9y²=-12，化為標準形式得：

y2

4 3

-

x2

3

=1．
（2）①當雙曲線焦點在x軸上時，設方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵漸近線的方程為2x±3y=0且焦距是2

13

，
∴

b a = 2 3 c= a2+b2 = 13

，解之得a=3，b=2．因此雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=1
②當雙曲線焦點在y軸上時，設方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1
用類似于①的方法，可解得a=2，b=3．因此雙曲線方程為

y2

4

-

x2

9

=1
綜上所述，可得雙曲線方程為

x2

9

-

y2

4

=1或

y2

4

-

x2

9

=1．

點評：本題給出雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，著重考查了雙曲線的基本概念和簡單幾何性質的知識，屬于基礎題．