Question

已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x²＋ax－3.
(1)求函數f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
(2)對一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍；
(3)證明對一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立．

Answer 1

（1）f(x)_min＝（2）a≤4（3）見解析

(1)解：f′(x)＝lnx＋1，當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．
①當0<t<t＋2<時，t無解；②當0<t<<t＋2，即0<t<時，f(x)_min＝f＝－；
③當≤t<t＋2，即t≥時，f(x)在[t，t＋2]上單調遞增，f(x)_min＝f(t)＝tlnt，
所以f(x)_min＝.
(2)解：由題意，要使2xlnx≥－x²＋ax－3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．
設h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，則h′(x)＝＋1－.
當x∈(0，1)時，h′(x)<0，h(x)單調遞減；
當x∈(1，＋∞)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增．
所以x＝1時，h(x)取得極小值，也就是最小值，
即[h(x)]_min＝h(1)＝4，所以a≤4.
(3)證明：問題等價于證明xlnx>－，x∈(0，＋∞)．
由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞)上最小值是－，
當且僅當x＝時取得．設m(x)＝－，x∈(0，＋∞)，則m′(x)＝，
易得[m(x)]_max＝m(1)＝－，
當且僅當x＝1時取得，
從而對一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>－成立