（本小題滿分12分）
如圖，
為橢圓
上的一個動點，弦
、
分別過焦點
、
，當垂直于
軸時，恰好有
(Ⅰ)求橢圓的離心率；
(Ⅱ)設
.
①當點恰為橢圓短軸的一個端點時，求
的值；
②當點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是否為定值？
若是，請證明；若不是，請說明理由.
(1)
(2)(3)
解析試題分析：（Ⅰ）法一：設
，則
.由題設及橢圓定義得
，消去
得
，所以離心率. ………………2分
法二：由橢圓方程得，
又
，
，即
，可求.
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，
，所以橢圓方程可化為
.
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，
，直線
的方程為
.
由
得
，解得
，
∴點
的坐標為
.
又
，所以
，
，所以
，
. ………5分
②當A點為該橢圓上的一個動點時，
為定值6.
證明：設
，
，則
.
若
為橢圓的長軸端點，則
或
，
所以
. ………………7分
若為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由
得，
，所以
.
又直線的方程為
，所以由
得
.
，∴
.
由韋達定理得 
，所以
. 同理
.
∴
.
綜上證得，當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6. ………………12分
法二：設，，則
∵
，∴
； ………………6分
又
①，
②，將
、
代入②得：
即
③；
③
①得：
； ……………10分
同理：由
得
，∴
，
∴. &nb
智能訓練練測考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（滿分12分）已知橢圓
的一個頂點為B
，離心率
，
直線l交橢圓于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（II）如果ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知函數
（其中
且
為常數）的圖像經過點A
、B
．
是函數
圖像上的點，
是
正半軸上的點．
(1) 求的解析式；
(2) 設
為坐標原點，
是一系列正三角形，記它們的邊長是
，求數列
的通項公式；
(3) 在(2)的條件下，數列
滿足
，記的前
項和為
，證明：
。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
，點
，直線
、
都是圓
的切線（
點不在
軸上）。
⑴求過點且焦點在
軸上拋物線的標準方程；
⑵過點
作直線
與⑴中的拋物線相交于
、
兩點，問是否存在定點
，使
.
為常數？若存在，求出點的坐標與常數；若不存在，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題15分）已知點
是橢圓E：
（
）上一點，F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A、B是橢圓E上兩個動點，
（
）．求證：直線AB的斜率為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
如圖橢圓
：
的兩個焦點為
、
和頂點
、
構成面積為32的正方形.
（1）求此時橢圓的方程；
（2）設斜率為
的直線
與橢圓相交于不同的兩點
、
、
為
的中點，且
. 問：、兩點能否關于直線
對稱. 若能，求出
的取值范圍；若不能，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓C中心在原點，焦點在
軸上，一條經過點
且傾斜角余弦值為
的直線
交橢圓于A，B兩點，交軸于M點，又
.
（1）求直線的方程；
（2）求橢圓C長軸的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分13分)
已知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸長為
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知動直線
與橢圓相交于
、
兩點. ①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；②若點
，求證：
為定值。
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的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,
.
，求橢圓C的方程.