Question

(1)已知函數f(x)=x²,g(x)為一次函數，且為增函數，若f［g(x)］=4x²-20x+15,求g(x)的解析式;

(2)已知af(x)+bf()=cx(a、b、c∈R,ab≠0,a²≠b²),求f(x);

(3)f(x)是R上的奇函數，且x∈(-∞,0)時，f(x)=x²+2x,求f(x);

(4)某工廠生產一種機器的固定成本為5 000元，且每生產100部，需要增加投入2 500元，對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數為H(x)=500x-x²,其中x是產品售出的數量，且0≤x≤500.若x為年產量，y表示利潤，求y=f(x)的解析式.

Answer 1

思路分析：已知函數的模型(如一次函數、反比例函數、二次函數等)一般設出函數解析式，由題設確定系數，即待定系數法，如(1)；求抽象函數解析式，可以以變量換變量，然后解方程組求解析式，如(2)，也可根據函數奇偶性確定解析式，如(3)；實際應用問題的函數解析式則要符合實際意義.

解：(1)設g(x)=ax+b(a＞0),a²x²+2abx+b²=4x²-20x+25(a＞0).解得

    ∴g(x)=2x-5.

    (2)由題設af(x)+bf()=cx,用x代換上式中的,則af()+bf(x)=,列方程組解得f(x)=(ax-).

    (3)由于f(x)的定義域是R，且f(x)是奇函數，可得f(0)=0.

    當x＞0時，-x＜0,則f(-x)=(-x)²-2x=x²-2x.

    ∴-f(x)=x²-2x,即f(x)=-x²+2x(x＞0).

    ∴f(x)=

    (4)由題意知，當0≤x≤500時，產品全部售出；當x＞500時，只能售出500部，故利潤函數

    y=

    =