Question

某單位舉行新年猜謎獲獎活動，每位參與者需要先后回答兩道選擇題：問題A有四個選項，問題B有六個選項，但都只有一個選項是正確的．正確回答問題A可獲獎金a元，正確回答問題B可獲獎金b元．活動規定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個問題回答錯誤，則該參與者猜獎活動中止．
（1）若a=100，b=200時，某人決定先回答問題B，則他獲得獎金的期望值為多少；
（2）一個參與者在回答問題前，對這兩個問題都很陌生，因而準備靠隨機猜測回答問題．試確定回答問題的順序使獲獎金額的期望值較大．

Answer 1

【答案】分析：先根據題意得出：隨機猜對問題A的概率，隨機猜對問題B的概率，
（1）若先回答問題B，則參與者獲獎金額η可取0，200，300，由η的分布列算出期望值：元；
（2）回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
若先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，a，a+b，由ξ的分布列算出期望值元，若先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎金額η可取0，b，a+b，由η的分布列算出期望值元（7分），最后比較Eξ＞Eη的大小即可得出結果
解答：解：隨機猜對問題A的概率，隨機猜對問題B的概率（1）若先回答問題B，則參與者獲獎金額η可取0，200，300，則，，∴元（3分）
（2）回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
若先回答問題A，再回答問題B．參與者獲獎金額ξ可取0，a，a+b，則，，∴元（5分）
若先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎金額η可取0，b，a+b，則，，∴元（7分）∴當時，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎的期望值較大；
當時，Eξ=Eη，兩種順序獲獎的期望值相等；
當時，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎的期望值較大．（10分）
點評：期望是概率論和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊．同時，它在市場預測，經濟統計，風險與決策等領域有著廣泛的應用，為今后學習數學及相關學科產生深遠的影響．