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過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的左焦點作直線交橢圓于A、B兩點，若存在直線使坐標原點O恰好在以AB為直徑的圓上，則橢圓的離心率取值范圍是（　　）
分析：設l：x=-c+my代入橢圓方程，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2為整理后的方程的兩個根，利用韋達定理結合OA⊥OB，可得到a，b，c之間的關系式，從而可求得橢圓的離心率取值范圍．
解答：解：設l：x=-c+my代入橢圓方程得：
(-c+my)2
a2
+
y2
b2
=1，
整理得：（b2m2+a2）y2-2mcb2y-b4=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2為上述方程的兩個根，
∴y1+y2=
2mcb2
b2m2+a2
，y1y2=-
b4
b2m2+a2
，①
∵OA⊥OB，
∴（-c+my1）（-c+my2）+y1y2=0．
∴c2-mc（y1+y2）+（m2+1）y1y2=0，將①代入，整理得：
a2c2-（c2b2+b4）m2-b4=0，
∴（c2b2+b4）m2=a2c2-b4≥0，
∴a2c2≥（a2-c2）2，又e=
c
a
，
∴e4-3e2+1≤0，
∴
3-
5
2
≤e2≤
3+
5
2
，而0＜e＜1，
∴
3-
5
2
≤e2＜1，
∴
5
-1
2
≤e＜1．
故選D．
點評：本題考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，突出考查韋達定理的作用，考查垂直關系的應用，考查抽象思維與綜合運算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點M，引橢圓C的兩條切線，切點為A、B．
（1）在圓中有如下結論：“過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結論證明直線AB恒過定點（2
2
，0）；
（3）當點M的縱坐標為1時，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB；若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點”M的坐標．
（2）試根據(jù)（1）中的結論猜測：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點”M是一個怎么樣的點？并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點A做圓x2+y2=b2的切線，切點為B，延長AB交拋物線于y2=4ax于點C，若點B恰為A、C的中點，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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