Question

 

如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,

上的點(diǎn)，,

（1）   求異面直線與所成角的余弦值；

（2）   證明平面

（3）   求二面角的正弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，滿分12分。

方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,

,,

（1）   解：易得,

于是

  所以異面直線與所成角的余弦值為

（2）   證明：已知,,

于是·=0，·=0.因此，,,又

所以平面

(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即

不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。

于是，從而

所以二面角的正弦值為

方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA₁=4,CF=1.CE=

鏈接B₁C,BC₁，設(shè)B₁C與BC₁交于點(diǎn)M,易知A₁D∥B₁C，由,可知EF∥BC₁.故是異面直線EF與A₁D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A₁D所成角的余弦值為

（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N 因?yàn)?sub>，所以，從而，又由于,所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C₁⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.

連接BF，同理可證B₁C⊥平面ABF,從而AF⊥B₁C,所以AF⊥A₁D因?yàn)?sub>，所以AF⊥平面A₁ED

(3)解：連接A₁N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF, A₁N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A₁N,故為二面角A₁-ED-F的平面角

易知，所以，又所以，在

連接A₁C₁,A₁F 在

。所以

所以二面角A₁-DE-F正弦值為