Question

證明：過拋物線y=a（x-x₁）•（x-x₂）（a≠0，x₁＜x₂）上兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）的切線，與x軸所成的銳角相等．

Answer 1

分析：本題考查的主要知識點是導數，由過A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點的切線，與x軸所成的銳角相等，我們可得到兩條直線的傾斜角相等或互補，則它們的斜率的絕對值應該相等，故利用與x軸所成的銳角和傾斜角之間的關系，只要求出切線的斜率進行比較即可．

解答：解：y′=2ax-a（x₁+x₂），
y′|_x=x1=a（x₁-x₂），即k_A=a（x₁-x₂），
y′|_x=x2=a（x₂-x₁），即k_B=a（x₂-x₁）．
設兩條切線與x軸所成的銳角為α、β，
則tanα=|k_A|=|a（x₁-x₂）|，
tanβ=|k_B|=|a（x₂-x₁）|，
故tanα=tanβ．
又α、β是銳角，則α=β．

點評：在解題過程中，由tanα=tanβ不能直接得α=β，還必須有α、β為銳角時（或在同一單調區間上時）才能得α=β．