Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數”．現給出下列函數：
①f（x）=2x；②f（x）=x²+1；③f(x)=sin(x+

π

4

)；④f（x）是定義在實數集R的奇函數，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍約束函數”的是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據“倍約束函數”，的定義進行判定：對①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；對于②可以利用絕對值的性質將不等式變形為|x|≤m；對③特值即可解答；對于④，通過取x₂=0，如此可得到正確結論．

解答：解：∵對任意x∈D，存在正數K，都有|f（x）|≤K|x|成立∴對任意x∈D，存在正數K，都有 K≥

|f(x)|

|x|

成立
∴對①f（x）=2x，易知存在K=2符合題意；
對于②，顯然不存在M都有|x|≤M成立，故B錯；
對于③，當x→o時

|f(x)|

|x|

→+∞，故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立；
對于④，當x=0，因|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故正確；
故答案為：①④．

點評：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數學的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．