Question

某水域一艘裝載濃硫酸的貨船發生側翻,導致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減
少對環境的影響，環保部門迅速反應,及時向污染河道投入固體堿，個單位的固體堿在水中
逐漸溶化,水中的堿濃度與時間(小時)的關系可近似地表示為：
,只有當污染河道水中堿的濃度不低于時,才能對污
染產生有效的抑制作用.
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？
（2）第一次投放1單位固體堿后,當污染河道水中的堿濃度減少到時,馬上再投放1個單
位的固體堿,設第二次投放后水中堿濃度為,求的函數式及水中堿濃度的最大值.
（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）

Answer 1

（1）3  （2）第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；
第一次投放小時后, 水中堿濃度的達到最大值為. 

解析試題分析：．⑴由題意知或                               
解得或，即                                  
能夠維持有效的抑制作用的時間：小時.                        
⑵由⑴知，時第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域為 
當時，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故
=+=;             
當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故
當時， =;           
當時， ;                             
所以     
當 時，
==;
當且僅當時取“=”,即
當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，
當時，，所以為增函數;
當時，為減函數;故=，       
又,所以當時，水中堿濃度的
最大值為.                                              
答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放
小時后, 水中堿濃度的達到最大值為. 
考點：函數模型的選擇與應用．
點評：本題考查分段函數，考查解不等式，考查函數的單調性，考查利用基本不等式求函數
的最值，確定函數的解析式是關鍵．