Question

某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為，圓心角為（弧度）．
（1）求關于的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關于的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？

Answer 1

（1）；（2），當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.

解析試題分析：（1）根據已知條件，將周長米為等量關系可以建立滿足的關系式，再由此關系式進一步得到函數解析式：，即可解得；（2）根據題意及（1）可得花壇的面積為，裝飾總費用為
，因此可得函數解析式，而要求的最大值，即求函數的最大值，可以考慮采用換元法令，從而，再利用基本不等式，即可求得的最大值：，當且僅當，時取等號，此時，，因此當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.
試題解析：（1）扇環的圓心角為，則，∴，      3分
（2）由（1）可得花壇的面積為，    6分
裝飾總費用為，             8分
∴花壇的面積與裝飾總費用的，        10分
令，則，當且僅當，時取等號，此時，，   12分
答：當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．       13分
考點：1.扇形公式的運用；2.利用基本不等式函數求極值.