Question

（理）如圖，已知矩形ACEF的邊CE與正方形ABCD所在平面垂直，，
AF=1，M是線段EF的中點．
（1）求證：CM∥平面BDF；
（2）求二面角A-DB-F的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，證明CM與平面BDF的法向量垂直，即可證得結論；
（2）由（1）知平面BDF的一個法向量為，平面ABD的一個法向量為，從而可求向量與向量的夾角，即可求得所求二面角A-DB-F的大小．
解答：（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，則…（2分）
設平面DBF的一個法向量為，則，
∴
取，
得平面DBF的一個法向量為，…（6分）
因為，
所以，
又因為直線CM?平面DBF內，所以CM∥平面BDF．…（6分）
（2）解：由（1）知平面BDF的一個法向量為，
而平面ABD的一個法向量為，，…（11分）
所以向量與向量的夾角，
從圖中可以看出二面角A-DB-F為銳二面角，所以所求二面角A-DB-F的大小是．   …（12分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用向量的數量積求解．