Question

下列命題中：
①在△ABC中，A＞B⇒sinA＞sinB
②若0＜x＜

π

2

，則sinx＜x＜tanx
③函數f（x）=4^x+4^-x+2^x+2^-x，x∈[0，1]的值域為[4，

27

4

]
④數列{a_n}前n項和為S_n，且S_n=3ⁿ+1，則{a_n}為等比數列
正確的命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B；②設f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

，求導，利用導數研究它們的單調性，即可證出sinx＜x＜tanx正確；③利用換元法：令2^x+2^-x=t，則利于二次函數在閉區間上的最值得到值域；④利用n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，驗證n=1時成立，利用等比數列的定義，即可得到結論．

解答：解：①由正弦定理得sinA＞sinB?a＞b?A＞B，故①正確．
②設f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，0＜x＜

π

2

則f'（x）=1-cosx，g'（x）=

1

cos2x

-1
因為0＜x＜

π

2

，所以0＜cosx＜1，
即f'（x）＞0，g'（x）＞0
所以f（x），g（x）在（0，

π

2

）區間上是遞增的，即f（x）=x-sinx＞f（0）=0，即x＞sinx
g（x）=tanx-x＞g（0）=0即tanx＞x
所以sinx＜x＜tanx．故②正確；
③函數y=4^x+4^-x+2^x+2^-x，x∈[0，1]，
設2^x+2^-x=t，則4^x+4^-x=t²-2，
∵x∈[0，1]，t∈[2，

5

2

]，
故y=t²-2+t=（t+

1

2

）²-

9

4

∈[4，

27

4

]，故③正確；
④當n=1時，a₁=S₁=3¹+1=4．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ+1）-（3^n-1+1）=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1．
又當n=1時，2×3^n-1=2×3^1-1=2≠a₁，
∴{a_n}不是等比數列．故④錯．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查等比數列的判定等，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．