Question

（理科做：）已知A（1，1）是橢圓上一點，F₁、F₂是橢圓的兩個焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求兩焦點的坐標；
（II）設點C、D是橢圓上的兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出其值；若不是定值，則說明理由．

Answer 1

解：（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，∴a=2，
設橢圓方程為，
把（1，1）代入，得，
∴，
∴，
∴兩焦點的坐標，．
（II）設AC：y=k（x-1）+1，
聯立，
得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，
∵A（1，1）在橢圓上，方程有一個根為x_A=1，
∴，
∵AC與AD的傾斜角互補，
∴AD為：y=-k（x-1）+1，
同理，，
∵y_C=k（x_C-1）+1，
y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，
∴．
故CD的斜率為定值．
分析：（I）由|AF₁|+|AF₂|=4，知a=2，設橢圓方程為，把（1，1）代入，得，得，由此能求出兩焦點的坐標．
（II）設AC：y=k（x-1）+1，聯立，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由A（1，1）在橢圓上，方程有一個根為x_A=1，知，由AC與AD的傾斜角互補，能推導出CD的斜率為定值．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力，考查論證推導能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．