Question

已知對任意，恒成立（其中），求的最大值.

Answer 1

的最大值為.

解析試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉化為二次不等式在區間上恒成立，利用二次函數的零點分布進行討論，從而得出的最大值，但是在對時的情況下，主要對二次函數的對稱軸是否在區間進行分類討論，再將問題轉化為的條件下，求的最大值，
試題解析：由題意知，
令，，則當，恒成立，開口向上，
①當時，，不滿足，恒成立，
②當時，則必有     （1）
當對稱軸時，即，也即時，有，
則，，則，當，時，.
當對稱軸時，即，也即時，
則必有，即，又由（1）知，
則由于，故只需成立即可，
問題轉化為的條件下，求的最大值，然后利用代數式的結構特點或從題干中的式子出發，分別利用三角換元法、導數法以及柯西不等式法來求的最大值.
法一：（三角換元）把條件配方得：，
，所以，
；
法二：（導數）
令 則即求函數的導數,橢圓的上半部分

；
法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：

，當且僅當,即及時等號成立.即當時，最大值為2.
綜上可知.
考點：1.二倍角；2.換元法；3.二次不等式的恒成立問題；4.導數；5.柯西不等式