Question

如圖，軸截面為邊長為等邊三角形的圓錐，過底面圓周上任一點作一平面α，且α與底面所成二面角為，已知α與圓錐側面交線的曲線為橢圓，則此橢圓的離心率為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設軸截面為SEF，橢圓中心為0、長軸為FH，延長S0交EF于點B，取SB中點G，連結GH．設OC是橢圓的短半軸，延長SC交底面圓于點A，連結AB．根據正△SEF中∠HEF=∠SEF得FH⊥SE，算出FH=6，即橢圓的長軸2a=6．利用△SBE的中位線和△OBF≌△OGH，算出BF=EF=，從而在底面圓中算出AB=，進而在△SAB中，利用平行線分線段成比例，得OC=AB=，即橢圓短半軸b=．最后由橢圓的平方關系算出c=，從而可得該橢圓的離心率．
解答：解：設圓錐的頂點為S，軸截面為SEF，過F的一平面α與底面所成角為，α與母線SE交于點H，
α與圓錐側面相交所得的橢圓中心設為0，延長S0交EF于點B，取SB中點G，連結GH
設OC是橢圓的短半軸，則OC⊥平面SEF，延長SC交底面圓于點A，連結AB
∵△SEF是等邊三角形，∠HEF就是α與底面所成角
∴由∠HEF==∠SEF，得FH⊥SE
Rt△EFH中，FH=EFcos=4×=6，即橢圓的長軸2a=6
∵GH是△SBE的中位線，得GHBE
∴結合△OBF≌△OGH，得BF=GH=BE，可得BF=EF=
設M為底面圓的圓心，則可得BM=EF=
∴⊙M中，可得AB===
∵△SAB中，OC∥AB且
∴，可得OC=AB=，橢圓的短半軸b=
因此，橢圓的半焦距c==，橢圓的離心率e==
故選：C
點評：本題給出圓錐的軸截面為正三角形，求與底面成30度角的平面截圓錐的側面所得橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與簡單幾何性質、圓錐的幾何性質和平面幾何有關計算等知識，屬于中檔題．