Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A（4，m）在橢圓E上，且

AF2

•

F1F2

=0，點D（2，0）到直線F₁A的距離DH=

18

5

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設點P位橢圓E上的任意一點，求

PF1

•

PD

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據題意可得c的值和F₁、F₂的坐標，又因為

AF2

•

F1F2

=0可表示出AF₂、AF₁，再由sin∠AF₁F₂=

DH

DF1

=

AF2

AF1

可得到a，b的關系式，最后根據a²=b²+c²可求出a，b的值，確定橢圓方程．
（2）先設點p的坐標，根據其在橢圓上可得到其橫縱坐標的關系（用x表示y），然后表示出向量

PF1

，

PD

后進行數量積運算得到關于x的二次函數，再由x的取值范圍可確定

PF1

•

PD

的取值范圍．

解答：解：（1）由題意知，c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵sin∠AF₁F₂=

DH

DF1

=

AF2

AF1

，DH=

18

5

，DF₁=6，
又∵

AF2

•

F1F2

=0，
∴AF₂=

b2

a

，AF₁=2a-

b2

a

，
∴

18 5

6

=

b2 a

2a- b2 a

，則a2=

4

3

b2，
由a²=b²+c²，得b2+16=

4

3

b2
∴b²=48，a²=64∴橢圓方程為

x2

64

+

y2

48

=1．

（2）設點P（x，y），則

x2

64

+

y2

48

=1，即y2=48-

3

4

x2
∵

PF1

=(-4-X，-Y)，

PD

=(2-x，-y)
∴

PF1

•

PD

=x2+y2+2x-8=

1

4

x2+2x+40=

1

4

(x+4)2+36
∵-8≤x≤8，∴

PF1

•

PD

的取值范圍是[36，72]．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和向量的數量積運算．屬基礎題．