Question

已知點（x，y）在橢圓C：（a＞b＞0）的第一象限上運動．
（Ⅰ）求點的軌跡C₁的方程；
（Ⅱ）若把軌跡C₁的方程表達式記為y=f（x），且在內y=f（x）有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求點的軌跡C₁的方程，設，只須求出x，y的關系式即可，利用點（x，y）在橢圓C：（a＞b＞0）的第一象限上運動，點的坐標適合方程，即可得到x，y的關系式；
（II）由軌跡C₁方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）．利用基本不等式求出f（x）的最大值，及取得最大值的條件得出關于a，c的不等關系，即可求得橢圓C的離心率的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設點（x，y）是軌跡C₁上的動點，∴（2分）
∴xy=y²，．
∵點（x，y）在橢圓C：（a＞b＞0）的第一象限上運動，則x＞0，y＞0．
∴．
故所求的軌跡C₁方程是（x＞0，y＞0）．（6分）
（Ⅱ）由軌跡C₁方程是（x＞0，y＞0），得（x＞0）．
∴≤．
所以，當且僅當，即時，f（x）有最大值．（10分）
如果在開區間內y=f（x）有最大值，只有．（12分）
此時，，解得．
∴橢圓C的離心率的取值范圍是．（14分）
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．