Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓G的離心率為e=

15

4

，左頂點(diǎn)A（-4，0），圓O'：（x-2）²+y²=r²是橢圓G的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓．
（Ⅰ） 求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求圓O'的半徑r；
（Ⅲ）過(guò)M（0，1）作圓G的兩條切線(xiàn)交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，判斷直線(xiàn)EF與圓O'的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓G的離心率為e=

15

4

，左頂點(diǎn)A（-4，0），可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 可取BC⊥X軸時(shí)來(lái)研究，則可設(shè)B（2+r，y₀），過(guò)圓心G作GD⊥AB于D，BC交長(zhǎng)軸于H由

GD

AD

=

HB

AH

即 y0=

r 6+r

6-r

，再由點(diǎn)B（2+r，y₀）在橢圓上，建立關(guān)于r的方程求解．
（Ⅲ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓相切的直線(xiàn)方程為：y-1=kx，由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

，與橢圓方程聯(lián)立，表示出E，F(xiàn)和坐標(biāo)，從而得到EF所在的直線(xiàn)的方程，再探討圓心到直線(xiàn)的距離和半徑的關(guān)系．

解答：解：（Ⅰ） e=

15

4

=

c

a

，a=4得c=

15

，b=1，橢圓G方程為

x2

16

+y2=1-------（5分）
（Ⅱ）設(shè)B（2+r，y₀），過(guò)圓心o'作O'D⊥AB于D，BC交長(zhǎng)軸于H
由

O′D

AD

=

HB

AH

得

r

36-r2

=

y0

6+r

，即     y0=

r 6+r

6-r

（1）---------（7分）
而點(diǎn)B（2+r，y₀）在橢圓上，y02=1-

(2+r)2

16

=

12-4r-r2

16

=-

(r-2)(r+6)

16

（2）-----（9分）
由（1）、（2）式得15r²+8r-12=0，解得r=

2

3

或r=-

6

5

（舍去）-------（11分）
（Ⅲ）直線(xiàn)EF與圓O'的相切
設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）與圓(x-2)2+y2=

4

9

相切的直線(xiàn)方程為：y-1=kx（3）
則

2

3

=

|2k+1|

1+k2

，即32k²+36k+5=0（4）
解得k1=

-9+ 41

16

，k2=

-9- 41

16

將（3）代入

x2

16

+y2=1得（16k²+1）x²+32kx=0，則異于零的解為x=-

32k

16k2+1

-------（13分）
設(shè)F（x₁，k₁x₁+1），E（x₂，k₂x₂+1），則x1=-

32k1

16k12+1

，x2=-

32k2

16k22+1

則直線(xiàn)FE的斜率為：kEF=

k2x2-k1x1

x2-x1

=

k1+k2

1-16k1k2

=

3

4

于是直線(xiàn)FE的方程為：y+

32k12

16k12+1

-1=

3

4

(x+

32k1

16k12+1

)即y=

3

4

x-

7

3

則圓心（2，0）到直線(xiàn)FE的距離d=

| 3 2 - 7 3 |

1+ 9 16

=

2

3

故結(jié)論成立．------------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要是通過(guò)圓和橢圓來(lái)考查直線(xiàn)和圓，直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系．