Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N兩點，且點M、N關于直線x+y=0對稱，則不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

所表示的平面區域的面積為

1

4

．

Answer 1

分析：由M與N關于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到k的值；設出M與N的坐標，然后聯立y=x+1與圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理得到兩橫坐標之和的關于m的關系式，再根據MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于-1，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數軸上畫出相應的平面區域，求出面積即可．

解答：解：∵M、N兩點，關于直線x+y=0對稱，
∴k=1，又圓心(-

k

2

，-

m

2

)在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變為

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區域，
△AOB為不等式所表示的平面區域，聯立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故答案為：

1

4

．

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關系、二元一次不等式（組）與平面區域等基本知識，考查學生靈活運用中點坐標公式化簡求值，會進行簡單的線性規劃，是一道中檔題．