Question

對于n∈N⁺，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，當i=0時，a_i=1，當1≤i≤k時，a₁為0或1．記I（n）為上述表示中a_i為0的個數（例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2），則
（1）I（12）=

 

；（2）

127

n=1

2I(n)=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，分析可得，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實際是將十進制的數轉化為二進制的數，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）將n分為n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7種情況，有組合數的性質，分析其中I（n）的取值情況，與二項式定理結合，可轉化為等比數列的前7項和，計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，則I（12）=2；
（2）127=1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
設64≤n≤126，且n為整數；
則n=1×2⁶+a₁×2⁵+a₂×2⁴+a₃×2³+a₄×2²+a₅×2¹+a₆×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中6個數都為0或1，
其中沒有一個為1時，有C₆⁰種情況，即有C₆⁰個I（n）=6；
其中有一個為1時，有C₆¹種情況，即有C₆¹個I（n）=5；
其中有2個為1時，有C₆²種情況，即有C₆²個I（n）=4；
…
 

127

n=64

2^I（n）=C₆⁰2⁶+C₆¹×2⁵+C₆²×2⁴+C₆³×2³+C₆⁴×2²+C₆⁵×2+1=（2+1）ⁿ=3⁶，
同理可得：

63

n=32

2I(n)=3⁵，
…

3

n=2

2I(n)=3¹，
2^I（1）=1；
則 

127

n=1

2I(n)=1+3+3²+…+3⁶=

37-1

3-1

=1093；
故答案為：（1）2；（2）1093．

點評：解本題關鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義 

127

n=1

2I(n)的運算，注意轉化思想，結合二項式定理與等比數列的前n項和公式進行計算．