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如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與軸交于點R，S，O為坐標原點。求證：為定值.

（1）（2）取得最小值為-，圓T的方程為：；
（3）

解析試題分析：（1）橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點為，所以可得橢圓的標準方程；
（2）點M與點N關于軸對稱，設，
 ，再根據的取值范圍求出的最小值，并由取得最小值的條件確定，進而確定圓的半徑.
（3）設點,利用點分別是直線 與軸的交點，把 用表示,
而,結合點都在橢圓上,將表達式化簡即可.
試題解析：
解：（1）由題意知解之得；，由得b=1，
故橢圓C方程為;3分
（2）點M與點N關于軸對稱，
設 不妨 設.
由于點M在橢圓C上，,
由已知,
,
階段;
由于故當時，取得最小值為-,
當時，故又點M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；...8分
（3）設，則直線MP的方程為
令，得，同理, 故，10分
又點M與點P在橢圓上，故 ，
得，
為定值．.14分
考點：1、橢圓的標準方程；2、圓的標準方程序；3、向量的數量積；4直線的方程.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點P(2,1)在橢圓上，求橢圓的方程；
⑵若存在過點A(1,0)的直線，使點C(2,0)關于直線的對稱點在橢圓上，求橢圓的焦距的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，其長軸長與短軸長的和等于6．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設橢圓的上、下頂點分別為，是橢圓上異于的任意一點，直線分別交軸于點，若直線與過點的圓相切，切點為．證明：線段的長為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知點是離心率為的橢圓：上的一點，斜率為的直線交橢圓于，兩點，且、、三點互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，點P到兩圓C1與C2的圓心的距離之和等于4，其中C1：，C2：. 設點P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(4m，0)(m＞0，m為常數)，離心率等于0.8，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若θ＝90°，，求實數m；
(3)試問的值是否與θ的大小無關，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知曲線E：ax2＋by2＝1(a>0，b>0)，經過點M的直線l與曲線E交于點A、B，且＝－2.
(1)若點B的坐標為(0，2)，求曲線E的方程；
(2)若a＝b＝1，求直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，設E：＝1(a＞b＞0)的焦點為F1與F2，且P∈E，∠F1PF2＝2θ.求證：△PF1F2的面積S＝b2tanθ.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率為，且過點P，A為上頂點，F為右焦點．點Q(0，t)是線段OA(除端點外)上的一個動點，過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點M，以QM為直徑的圓的圓心為N.

(1)求橢圓方程；
(2)若圓N與x軸相切，求圓N的方程；
(3)設點R為圓N上的動點，點R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

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